Решения ИДЗ с разбором методов

Метод → почему он подходит → шаги. Удобно объяснять преподавателю.

ИДЗ 8.1 Задача 6.3
Интегралы

Найти неопределённый интеграл:

\[ \int \frac{3x \, dx}{4x^{2} + 1} \]
МЕТОД

Подстановка (замена переменной)

Почему этот метод? Функция вида \(\frac{f'(x)}{f(x)}\). Подстановка даёт логарифм.

Пошаговое решение

1

Обоснование метода

Числитель почти производная знаменателя.

2

Подстановка

u = 4x² + 1 → 3x dx = ⅜ du

3
Ответ:
\[ \frac{3}{8} \ln |4x^{2} + 1| + C \]
ИДЗ 8.2 Задача 2.3
Интегралы

Найти неопределённый интеграл:

\[ \int \frac{\sin 3x}{3 - \cos 3x} \, dx \]
МЕТОД

Подстановка (замена переменной)

Почему этот метод? Знаменатель — функция от cos 3x, числитель — её производная.

Пошаговое решение

1

Обоснование

Дифференциал знаменателя почти совпадает с числителем.

2

Подстановка

u = 3 − cos 3x → sin 3x dx = ⅓ du

3
Ответ:
\[ \frac{1}{3} \ln |3 - \cos 3x| + C \]
ИДЗ 8.3 Задача 5.3
Интегралы

Найти неопределённый интеграл:

\[ \int x \sin x \cos x \, dx \]
МЕТОД

Тригонометрическое тождество + интегрирование по частям

Почему этот метод? Сначала упрощаем через sin 2x, потом по частям (есть x).

Пошаговое решение

1

Обоснование

sin x cos x = ½ sin 2x → интеграл от x sin 2x.

2

По частям

U = x, dV = sin 2x dx

3
Ответ:
\[ -\frac{1}{4} x \cos 2x + \frac{1}{8} \sin 2x + C \]
ИДЗ 8.4 Задача 2.3
Интегралы

Найти неопределённый интеграл:

\[ \int \frac{3x^{2} + 1}{(x-1)^{2}(x^{2}-1)} \, dx \]
МЕТОД

Разложение на простейшие дроби

Почему этот метод? Правильная рациональная дробь с линейными множителями.

Пошаговое решение

1

Обоснование

Знаменатель (x−1)²(x+1) → 3 простейшие дроби.

2

Коэффициенты

x=1 → B=2, x=−1 → C=1, x=0 → A=−2

3
Ответ:
\[ -2\ln|x-1| - \frac{2}{x-1} + \ln|x+1| + C \]
ИДЗ 9.1 Задача 1.3
Опр. интегралы

Вычислить определённый интеграл:

\[ \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \, dx \]
МЕТОД

Преобразование + формула Ньютона-Лейбница

Почему этот метод? Деление даёт простую функцию с табличными интегралами.

Пошаговое решение

1

Обоснование

Делю: \(\frac{x^2}{x^2+1} = 1 - \frac{1}{x^2+1}\)

2
Ответ: \( 1 - \frac{\pi}{4} \approx 0{,}21 \)
ИДЗ 11.1 Задача 1.3
ДУ

Найти общее решение ДУ:

\[ y' = (2x - 1) \ctg y \]
МЕТОД

Разделение переменных

Почему этот метод? Уравнение вида f(x) · g(y).

Пошаговое решение

1

Обоснование

Записываю как \(\frac{dy}{\ctg y} = (2x-1) dx\)

2
Ответ:
\[ \ln|\cos y| = -x^{2} + x + C \]
ИДЗ 11.2 Задача 2.3
ДУ

Найти общее решение ДУ (понижение порядка):

\[ x^{3} y'' + x^{2} y' = 1 \]
МЕТОД

Понижение порядка (z = y′)

Почему этот метод? Нет явной y → понижаем порядок.

Пошаговое решение

1

Обоснование

Замена z = y′ → линейное ДУ 1-го порядка.

2
Ответ:
\[ y = C_1 \ln |x| + \frac{1}{x} + C_2 \]
ИДЗ 11.3 Задача 1.3
ДУ

Найти общее решение ДУ:

a) y'' − 4y' = 0
б) y'' − 4y' + 13y = 0
в) y'' − 3y' + 2y = 0
МЕТОД

Характеристическое уравнение

Почему этот метод? Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами.

а)

λ = 0, 4 → y = C₁ + C₂ e^{4x}

б)

λ = 2 ± 3i → y = e^{2x}(C₁ cos 3x + C₂ sin 3x)

в)

λ = 1, 2 → y = C₁ e^x + C₂ e^{2x}
ИДЗ 12.1 Задача 2.3
Ряды

Исследовать ряд на сходимость:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( -\frac{7}{8} \right)^{n} \frac{1}{n^{7}} \]
МЕТОД

Признак Даламбера

Почему этот метод? Знакочередующийся ряд с показательной функцией.
1

Вывод

|a_{n+1}/a_n| → 7/8 < 1 → ряд абсолютно сходится.

ИДЗ 12.2 Задача 2.3
Ряды

Найти область сходимости:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln^{2} x}{n^{n}} \]
МЕТОД

Радикальный признак Коши

Почему этот метод? В знаменателе n^n — быстро растёт.
1

Вывод

Предел = 0 < 1 при x > 0 → сходится на (0; +∞)

Метод → обоснование → шаги → ответ. Готово к защите.